添付ファイルのダウンロードを制限することはできますか？

はい、「添付ファイルセキュリティオプション」をご契約いただくと
ダウンロードの制限が可能になります。

添付ファイルのダウンロードの可否をユーザ毎に制限する事ができるようになります。

ダウンロードが許可されていないユーザは、メールに添付ファイルが
ついているかどうかだけが確認できるようになります。

オプションについてはこちらをご参照ください。