チャットのログをエクスポートすることはできますか？

いいえ、メールディーラー内のチャットのログをエクスポートすることはできません。
ログを閲覧する方法については、下記マニュアルの「5.6. 全てのチャットのログを閲覧」をご参照ください。
https://support.maildealer.jp/user/share/