Yahoo!ショッピングのメッセージを誰がいつ対応したかを確認できますか？

はい、確認できます。

送信したメッセージ吹き出しの左に「担当者名」と「送信日時」が表示されます。

※時刻表示は以下のように切り替わります
　・当日中：時刻のみ
　・今年中：月/日 時刻
　・去年以前：年/月/日 時刻