特定のユーザが、メールの状態を対応完了にできないようにすることはできますか？

はい、「メール状態変更」という権限を外していただくことで、
該当ユーザはメール状態を対応完了に変更できなくなります。

※ただし、他の状態にも変更できなくなるため、
　運用に合わせて、ユーザの権限をご変更ください。

設定方法は下記の通りです。

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■権限を外す方法■
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 [1]画面右上歯車アイコン＞ユーザ設定をクリック
 [2]「ユーザ毎の権限設定」をクリック
※プロプランの場合は「操作権限の設定」＞「ユーザ毎の権限設定」をクリック
 [3]権限を付与したいユーザの「ユーザID」をクリック
 [4]「権限の詳細」欄「各種設定」の中の「メールの状態変更」のチェックを外す
 [5]「変更」をクリック
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※「操作権限の変更」という権限が付与されていないユーザは
　上記設定変更ができませんので、権限を付与していただくか、
　権限付与をすることができる管理者様にご相談ください。